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2020年01月22日 20:40:01

“动手操作”是唯一途径吗?

听一位教师执教五年级“密铺”。课前,教师给每个小组的学生提供了若干平行四边形、三角形、梯形等学习材料。教学中,先是通过让学生动手操作平行四边形,发现“平行四边形可以密铺”;接着,研究“三角形和梯形是否也能密铺?”的问题。教师采取了同平行四边形类似的方法,也让学生去操作学具,尝试探究,小组讨论,最终得出结论。一节课看下来,学生不停地在操作、讨论,给人的感觉是热闹有余,但理性思考不足。

思考动手操作”是否为学生学习“三角形和梯形能否密铺”的唯一途径呢?这一知识与之前学习的“平行四边形能够密铺”之间是否存在一定的联系?能否不借助学具操作,而是通过逻辑推理得出结论呢?因为任意两个完全相同的三角形或者梯形都可以拼成一个平行四边形,既然平行四边形可以密铺,三角形或者梯形当然也可以密铺。这是靠数学推理证明的,体现了严格的逻辑关系,对培养学生的逻辑推理能力和思维的深刻性是不是更有意义呢?

比如教学中,在探究出“平行四边形可以密铺”之后,可以先让学生对三角形、梯形能否密铺提出猜想,并讲述猜想的理由。在此基础上,教师引导学生根据平行四边形与三角形、梯形的关系进行逻辑推理,得出“由于三角形和梯形都能转化成平行四边形,平行四边形能密铺,所以三角形和梯形也能进行密铺”的结论,最后再通过课件的直观演示,使得三角形或者梯形能够密铺进行直观验证。

数学教育的重要目标是发展学生的思维,尤其是要提升学生思维的深刻性,即帮助学生逐步学会更深入地思考。为此,我们应跳出细节从整体上对教学内容进行分析思考,注重认识的发展,用发展代替重复,即使是相同的基本问题,在不同的阶段也会有不同的重点。通过我们的结构化教学,使学生能够按照逻辑的顺序(由简单到复杂、由低阶到高阶)把握各个相关的内容,特别是它们的内在联系,包括重点与关键等,以更好地促进学生思维的发展。

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2020年01月22日 20:38:37

勇敢地“退”与适时地“进”——以“乘法分配律”为例

乘法分配律教学片断

引导学生得出“乘法分配律”的文字与字母表示形式之后
追问:想一想,今天所学的“乘法分配律”与前面学习过的其他运算律有什么不同?

学生小组讨论、交流
生1:前面几个运算律,等号左边是几个数,右边也会是几个数,不多也不少。乘法分配律的等号左边是三个数——a、b、c,右边却是四个数——a、c、b、c。

师:哎,还真是的!你看的真仔细!想一想,为什么右边会多出一个数呢?

生2:因为c先乘了a,又乘了b,用了两次,所以会多出一个数。
师:说得好!从左往右看这个等式,c个(a + b)分成了c个a加c个b”;从右往左看,c个a加c个b配成了c个(a + b)。这就是乘法分配律中“分配”两个字的由来。还有别的发现吗?

生3:我发现前面学过的运算律里面只有一个符号,而乘法分配律里有两个符号。

师追问:只有一个符号是什么意思?能举例说一说吗?

生3:比如,加法交换律里面只有加号,乘法结合律里面只有乘号。

师:大家听懂他的意思了吗?前面这些运算律里面都是只有一种运算,要么是——

生:加法。

师:要么是——

生 :乘法。

师:那么,乘法分配律里有哪些运算呢?

生(异口同声):既有加法,又有乘法。

师:这是一个很重要的发现,乘法分配律把乘法和加法联系起来了,所以又叫做乘法对加法的分配律。

质疑:如果把“+”改成“-”,(a-b)×c会不会等于a×c-b×c呢?

生(异口同声):不会。

师:真的吗?
经此一问,学生的意见开始分化了,有的在坚持——“真的”,有的在动摇——“会等于”,有的拿不定主意了。

师:怎样验证这个想法是否正确呢?

生:举例子。

师:好办法!在数学上,只要找到一个反例就能证明一个说法是错误的,请你用举例子的方法来验证一下刚才的想法是否成立。(
生独立思考,举例验证。)
时间不长,教室里已经有学生不由自主地发出了声音:“果然可以呀!”、“我举的例子也可以!就是相等的!”、“啊,我找到反例了!”……
我不失时机地让学生在小组内交流想法。全班交流时特意让找到“反例”的同学介绍自己的“反例”。

生1:我举的例子是(30-20)×10,发现它的结果跟20×10-30×10的得数不一样。

生2:反过来不就行了吗?

师追问生2:请你再说一下,什么叫“反过来”?

生2:我的意思是,干嘛非要用20×10-30×10,用30×10-20×10不就行了。

师(示意全班学生):我们一起算一算行不行,(30-20)×10=100,30×10-20×10=100,确实结果相等。

看来这不是一个“反例”,而是一个“正例”。还有人找到反例吗?

随后2个找到“反例”的同学介绍了他们的例子,经过同学们的现场验证,最终发现都是他们自己计算出错了,不是“反例”,都是“正例”。

师:我们举了这么多例子,都是“正例”,没有找到“反例”,说明什么?

生:说明(a-b)×c=a×c-b×c是成立的,是一个规律。

师:真好!刚才我们将乘法分配律由“两个数的和”拓展到了“两个数的差”。这是一种很有价值的思考。

你还能联想到别的吗?

生:如果不只是2个数,换成3个数的和,还成立不成立呢?

师:真是一个很好的猜想!换成3个数的和,4个数的和或者更多数的和,结果还会不会相等呢?怎样验证?

生:举例子

师:对,举例子、找反例是个验证规律的好方法!我们今天的课后作业就是这个啦,研究一下多个数的和去乘一个数,结果会不会相等。

……

思考:
 

教学始终是教与学的统一,教师的主导作用与学生学习的主体性不是对立的两个方面,恰恰相反,教师主导作用是为了更好地促进学生主体性的发挥。

 

教师的主导作用更多地体现在对教学内容的把握、知识呈现的设计和师生之间的对话交流上。乘法分配律沟通了乘法与加减法的联系,是一种重要的数学模型,它的实质是“c个(a+b)分成c个a加c个b”和“c个a加c个b配成c个(a+b)”,要让学生充分感知和深入理解,必须始终抓住内在不变的“理”来理解外在变化的“形”。在上述案例中,教师基于自身对于这一规律的理解,紧紧把握住乘法分配律的“内在本质”,引导学生“猜想——验证”,并通过适时的介入“质疑”,将探究不断引向深入。

 

由此推想开去,有效的教学既需要教师勇敢地“退”,给学生留出充足的学习空间,也需要教师适时地“进”,为学提供高品质的服务。

“进”要求教师具有对话的敏感性,其时机可概括为以下几点:

 

当学生已有知识经验明显不足、思维陷入困境时,需要教师给学生补充相关的知识,为对话铺路搭桥;

 

当学生由于某种原因,对所学内容产生理解的偏差,进入理解的误区时,需要教师明确讨论的主题,为对话指明方向;

 

当学生之间的对话停滞不前,出现思维障碍时,需要教师帮助学生发现对话难以深入的症结所在,及时给予疏导、点拨,把对话引向深入;

 

当学生交流中形成了不同的观点时,教师要引导学生进行梳理、辨析、讨论,甚至可以想办法引发学生之间的争论;

 

当学生从不同角度分析问题、对问题认识逐步清晰时,需要教师引导学生把交流中得到的成果提升到一般规律的层面,还可以引导学生总结探究问题的方法,不断提升学生的学习能力。

……
 

“进”与“退”之间“度”的把握正是教师教学智慧的体现,也对教师的教提出了更高的要求。

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2020年01月22日 20:33:55

无用方为大用——“数学阅读课”之思与行

当下,做题几乎成了学生数学学习的唯一,由此失去了许多学习的乐趣。很多教师都企盼自己的学生能够取得高分数,却很少能体谅孩子们学得累不累、烦不烦。“教育的艺术不在于传授本领,而在于唤醒和鼓舞。”(第斯多惠语)成长永远都是一件不急于求成的事情,需要我们放慢脚步倾听花开的声音,从慢的角度做一点“无用”的事,用“无用”的阅读、思考、交流激发他们潜藏的能力、志趣、爱好。

    基于上述思考,我尝试在教学中开设了“数学阅读课”。讲到“阅读”,乍一看好像是语文课中的专用名词。其实不然,“数学教学也就是数学语言的教学”(A·A·斯托利亚尔语),而语言的学习是离不开阅读的。大凡数学成绩较好的学生对数学语言都有较好的理解力,能正确地理解和获取各种数学信息。但是,由于数学语言形式的多样性(包含文字、符号、图形等多种形式)以及数学知识的抽象性等特点,数学阅读材料并不像语文阅读材料那样通俗易懂而富有故事性和趣味性。数学阅读更需要学生勤思多想,对每一个字词、符号与图形的含义以及它们之间的关系都要认真思考、仔细阅读才能准确、全面地理解。另外,数学阅读更加强调学生的多感官参与,不能只是用眼睛浏览,而应是眼、口、手、脑等多种感官充分协同参与,养成“边阅读,边思考,边计算”的习惯。
    选择什么素材作为阅读内容呢?我确定了三个原则:一是学生感兴趣的,因为“兴趣是最好的老师”;二是学生经过思考能够理解的,必须“跳一跳才能摘到果子”(否则缺乏挑战性,心智得不到锻炼),最终又能够“摘到果子”(否则会挫伤积极性);三是能够开阔学生视野,感受到数学的魅力的。通过查阅大量资料,反复比对,先后选择了如下阅读素材:有趣的222;“数字黑洞”探秘;神奇的“走马灯数”——142857;冰雹猜想;回文数猜想;奇妙的数字金字塔——杨辉三角形;等等。
    选好了阅读素材,又该怎样把这些抽象、枯燥的数学知识加工成通俗、有趣且适合探究的学习材料呢?“问题是数学的心脏”。为了增强学生阅读数学材料的兴趣,我们把学习材料精心设计成“问题串儿”,让学生在挑战性问题的驱动下有目的地去阅读,去思考,去计算,寻求问题的答案。学生阅读的过程就是在经历“猜想——验证——再猜想——再验证”的“科学探究”的过程,就是在经历对知识的体验和探索的过程,就是在经历“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”之后获得深层次愉悦的心理体验过程。
    一般地,数学阅读课的教学流程如下:背景介绍、激发兴趣——自主阅读、尝试探究——互动对话、交流提升。课堂上留出充足的时间让学生去自主阅读、尝试探究,帮助学生真正进入思维状态,让阅读真正成为充满思考的学习过程。教师密切关注学生的阅读进程,视情况适时介入,在关键处点拨、引领学生的思维。教学中,注重利用学生间的差异资源,让进度较快、率先完成阅读任务的同学充当“小老师”,协助老师指导帮助个别有困难的学生。
    经过一段时间的实践,数学阅读课的成效已初步显现。孩子们在阅读中开阔了数学视野,感受到了数学知识的博大精深和魅力所在,学习数学的兴趣也越来越浓。还记得学习“数学阅读之冰雹猜想”时是一个周五,阅读材料中介绍“英国剑桥大学教授John Conway找到了一个自然数27。如果按照文中所述方法进行运算,掉入‘数字黑洞’的全部过程一共需要111步。”这样介绍原本只是想让学生了解一下“冰雹猜想”中还有如此特殊的数而已,并不要求学生亲自去计算,因为步骤太繁琐了!没想到周一刚到校,就有几个同学找到我说,他们利用双休日的时间亲自去“求证”了一下,真的用111步计算让“27”调入了“数字黑洞”,前前后后耗费了2个多小时,还都乐此不疲——“这样的计算,我喜欢!”、“很累,但我乐意!”。也有家长通过QQ给我留言,说自家孩子原本很贪玩,那天却在家里一直坐在那里验算、推导,整整2个多小时没有离开书桌,直到把结果算出来才起身去吃饭、休息,这是在他以往的学习中从来没有发生过的事情。
    数学阅读课的效果如此之好有些出乎意料,令人振奋!这也坚定了我在“应试”的背景下还要做一些“无用”之事的想法!或许,这些看似“无用”的种种,却是孩子以后人生中宝贵的点点滴滴呢?
    阿尔卑斯山谷中有一则广告语:“慢慢走,欣赏啊!”的确,孩子的数学学习不能成为“一个了无生趣的囚牢”。我们应该让孩子驻足欣赏数学学习旅途中的点点精彩,让他们“享受属于自己的乐与苦、喜与悲”。

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2020年01月22日 20:32:30

4900007500应该怎样读?

在一次外出讲学活动中,有听课老师问到一个问题:“4900007500应该怎样读?是读作四十九亿零七千五百还是四十九亿七千五百?

记得我当时的答复是两种读法都可以。有些数的读法是基于当地的语言习惯,比如在我曾经生活、工作过的杭州,210就读作两百十,而不是通常的二百一十,这无关对错,而是习惯使然。从数学的本性是追求简洁的角度看,个人更倾向于第二种读法,即中间的四个零都不读。

     

回来之后,我又仔细查阅了相关的资料,找到了史宁中教授在《人民教育》2012年第七期上发表的《注重过程中的教育》一文,文中就读数教学举过一个具体的例子:2350,这个2在千位,你就读2千,百位上是3,你就读3百,十位上是5,你就读5十,个位上是0,就读0个。连起来,就读2千3百5十0个。2002就读2千0百0十2个。不错。你要嫌麻烦就读2千零2,不嫌麻烦就读2千0百0十2个,没有错。史教授这个例子告诉我们:讲课千万别反复讲,要抓住数学的本质,旁枝末节上要求多了,他就抓不住本质了

     

根据史宁中教授的上述观点,4900007500这个数读作四十九亿零七千五百没有错,读作四十九亿七千五百也没有错。

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2020年01月22日 20:31:15

“每隔几天”与“每几天”有什么区别?

  问题1:人教版新课标教材五年级《数学》下册第92页第7题)

   

分析:

    3路车是每隔6分钟发一次车,5路车是每隔8分钟发一次车,再一次同时发车就是求6和8的最小公倍数。所以至少过24分钟两路车才第二次同时发车。
   

问题2:张阿姨每隔5天去一次超市购物,王奶奶每隔7天去同一家超市购物.国庆节这一天张阿姨、王奶奶都去了这家超市购物,问至少再经过多少天,她们又会在同一天去这家超市购物?

   

学生的解答方法主要有以下两种:

   

第一种:因为张阿姨每隔5天去一次超市,王奶奶每隔7天去同一家超市,所以他们下一次同去这家超市就是求5和7的最小公倍数。因为5和7的最小公倍数是35,所以至少再经过35天后她们会同一天去这家超市。

   

第二种:因为张阿姨每隔5天去一次超市,王奶奶每隔7天去一次超市,即张阿姨每6天去一次超市,王奶奶每8天去一次超市。所以此题是求5+1和7+1的最小公倍数,即6和8的最小公倍数。因为6和8的最小公倍数是24,所以24天后她们将再次同去这家超市。

   

分析:哪一种理解对呢?关键问题就是“每隔几天”该怎样理解?问题1和问题2是不是同一个类型?为弄清这一问题,不妨考虑它们最简单的情况:

    对问题1,假如3路车每隔1分钟发一次,第一次是6:00,第二次就是6:01,第三次是6:02,以此类推;对问题2,假如张阿姨每隔1天去一次超市,第一次是1号去,第二次就是3号去,第三次就是5号去,依次类推。显然,这两个问题不是同一个类型。
    对类型2,第二次去超市的时间是10月3日,而不是10月2日。仔细分析发现,其原因在于“发车”和“去超市”有区别,发车是即时发生的,它不占用时间,事件(指发车)发生前后是连续的;而“去超市”是一个时间段,他要占用时间(哪一天超市的营业时间,而此问题中它要占用一天的时间),事件(指去超市)发生前后是分开的、离散的。所以我们可以把类型1称为连续性问题,类型2称为离散性问题。
    学生难以理解可能是问题1、问题2的表述“每隔6分钟发一次车”与“每隔5天去超市”在形式上是完全类似的,但对于这两类问题,仔细分析会发现它们在表述上有如下区别:
    类型1属于连续性问题,“每隔6分钟”与“每6分钟”的意思相同;而类型2属于离散性问题,“每隔5天”是“每6天”的意思,与“每5天”的意思不同。


    有了上面的分析,问题2就不难理解,就是求5+1和7+1的最小公倍数,第二种思路是正确的。

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2020年01月22日 20:29:35

怎样让学生理解“无限”?

教学“直线、射线”时,一个重要目标是要让学生初步建立“无限”的概念。“无限”这个词对于小学生来说既陌生又抽象,因为生活中没有这样的原型。如何帮助学生初步感受“无限”呢?

      可以借用《西游记》中的金箍棒来演绎直线的无限,通过“变、变、变……”,让学生展开丰富的想象,理解直线和射线“无限延伸”的特点,初步感受“无限”的含义。
      还可以放手让学生用自己的方式来表示直线和射线,学生可以将直线的“无限长”用省略号或箭头等来表示,教师再有意识地让学生用自己的话来说一说为什么这么表示,也能加深学生对“无限”的体会。
      另外,学生建立“无限”的概念不是一节课能够完成的,需要在不同阶段、不同内容的教学中进行渗透。比如,在低年级“数数”的过程中,学生会有“数不完”的感觉,这就是“无限”;再如,利用数轴,低年级只能表示一些正整数,认识了分数或小数以后,在两个整数之间还能写出无数个分数或小数,而不同的数则对应不同的点;又如,平行线之间能够画出无数条长度相等的线段;圆有无数条对称轴;等等。

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2020年01月22日 20:27:51

学习知识,学会思考(一)

长方体的认识教学片断

学生通过自主探究、合作交流得出长方体的特征之后——

师:你怎么证明“长方体相对的面完全相同”呢?

生:我是看出来的,相对的两个面看起来都一样。

生:我是用尺子测量过的,测量前、后两个面的长和宽,发现它们的长与长相等,宽与宽相等,长×宽=长×宽,面积一样大。其它相对的面也是这样,所以,相对的面完全相同。

师:不错,观察、测量都是好方法。除此之外,还有别的方法来证明吗?教室里一下子安静起来,同学们陷入了深思,又开始仔细观察起长方体学具来。

生:我发现“前面”的长和“后面”的长是“上面”这个长方形的一组对边,因为“长方形的对边相等”,所以这两个长就相等。同样道理,两个宽也相等。长×宽=长×宽,所以,相对的面完全相同。

师:用“长方形对边相等”的旧知识来解决新问题,真是好方法!刚才同学们还数出了长方体有12条棱,除了“数”的方法,你还有别的办法吗?学生再次陷入沉思,稍顷,开始自发地讨论起来。

生:因为每个面上都有4条棱,长方体共有6个面,就有4×6=24(),又因为每条棱都出现在2个面内,刚才重复计算了,所以要再除以2,等于12条。(师借助长方体教具,帮助学生明确“棱是两个面相交的线”,因此,每条棱都同时在两个面内。)

师:刚才我们也数出来了“长方体有8个顶点”,如果不“数”,你有办法知道吗?

生:我是这样想的,因为每个面都有4个角(顶点),共有6个面,就有4×6=24(个),但是因为每个顶点都同时出现在3个面内,刚才重复计算了,所以要除以324÷3=8(个)。(师借助长方体教具,帮助学生理解上述算法。)

生:我的想法是,因为长方体有12条棱,每条棱都有2个端点,所以是12×2=24(个),又因为每个顶点都出现在3个面内,所以共有顶点24÷3=8(个)。

……

思考:“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”(《标准》2011版)   

关于“长方体相对的面完全相同”,不满足于学生想到的“观察和实验”的方法,而是有意渗透一些演绎推理,引导学生用推理、论证的方法根据已有的知识推出这个结论。

关于“长方体棱的条数和顶点个数”,不满足于学生能“数”出正确的结果(逐个计数或按群计数),还引导学生在计数的基础上进一步从已有的知识进行推算,从而实现了“直观几何、实验几何与论证几何的结合”,有效培养了学生的推理能力,促进了理性思维的发展。

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2020年01月22日 20:22:27

学习知识,学会思考(二)

(出示长方体直观图)

师:请大家仔细观察这个“长方体直观图”,记住它的形状和大小,然后闭上眼睛在脑海里想象这个长方体的样子。生闭眼想象。

师:如果擦去一条棱,你还能想象出这个长方体的形状和大小吗?(课件演示擦去一条棱)

生:能。因为相对的棱长度相等,我看到下面的棱,就能想到上面的棱的长度了。生:我是想”面”的,因为相对的面完全相同,我看到“后面”的样子,就想到了“前面”。

师:如果再擦去三条棱,你还能想象出原来的样子吗?(课件演示)

生:能。根据“相对的面完全相同”就能想到不完整的面是什么样子。课件演示:陆续又擦去几条棱,只剩下相交于一个顶点的三条棱。

师:如果再擦去水平方向的这条棱,你还能想到这个长方体的形状和大小吗?(课件演示)

生:不能了,不知道它到底有多长了。

师:如果不擦去它,而是擦去别的棱呢?

生:也不行,因为就不知道这个长方体有多高、多宽了。

生:老师,我发现了,相交于一个顶点的这三条棱都不能擦去,无论少了哪一条,长方体的形状和大小就不确定了。

师:看来,相交于一个顶点的三条棱的长度决定着长方体的有多长、有多宽、有多高,数学上就把它们分别叫做长方体的长、宽、高。长方体的长、宽、高决定着长方体的形状和大小。 

思考】:“教材是教学法的颠倒”(弗赖登塔尔)。“将冰冷的美丽转化为火热的思考”,需要教师把教材内容动态化,而不仅仅是静态呈现。教学不仅仅是教结果,更重要的是揭示知识的数学实质,让学生理解结果是怎么得出来的,体会数学知识之间的关联,学会怎样去想问题。

在数学教学中,学生是否理解一个概念不在于能否说出它的“定义”,而在于能否把握概念的本质,能否在具体情境中运用该概念解决问题。就“长、宽、高”的教学而言,知道“长、宽、高的定义”,是否就意味着学生理解了长、宽、高对于长方体的重要性?恐怕未必。而经历了上述“观察—想象—归纳”的学习过程,学生才深刻地体会到“长、宽、高决定着长方体的形状和大小,一旦长、宽、高确定了,长方体的形状和大小也就确定了”。

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2020年01月22日 20:16:03

许多数学知识就是人为的规定

数学上的一些知识就是一种合理的规定,是一种约定俗成的人为结果。

    比如,“0是自然数”就是一个典型的例子。在现代数学中,人们普遍采用皮亚诺(1858-1932)算术公理体系来定义自然数。皮亚诺算术公理体系的基本思路是利用“直接后继”的概念,也就是说,从1开始通过“直接后继”产生1以后的所有自然数。所谓“直接后继”就是在已经定义了的自然数后面再加上1,得到后继自然数,具体形成过程如下:
2=1+1,3=2+1,4=3+1, 直到无穷多个自然数
    可见,这种方法抓住了数的本质规律:数是一个一个大起来的。后来,皮亚诺又把自然数改为从0开始。这是因为,如果自然数不从0开始,那么0将不是任何自然数的后继,因此通过上述公理的方法就产生不了0;进一步,没有0就不能通过加法定义相反数,于是就产生不了负数,这样,自然数集合就得不到扩充。
我国的数学教科书中在20世纪90年代之前一直规定自然数从1开始,0不算作自然数。但是,1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》(《量和单位》)规定自然数包括0,因此,教材也依据《国家标准》进行了相应的修改,具体的表述是:用0表示“一个物体也没有”所对应的计数。自然数包含0会带来一些不便,例如,在小学阶段的“整除”部分,仍然不考虑自然数0。在因数、倍数等概念中都不包括0。另外,一般情况下我们不说0是几位数,所以最小的一位数是1。
  其实,类似这样为了“自圆其说”或者方便使用而做的人为规定的例子并不鲜见。
  1)“0是偶数吗?
  奇偶数的通俗说法是单双数,但那是对正整数而言的,单双数的说法中不含零。当单双数推广到整数时,学术性的名称是奇偶数。由于1和-1都是奇数,夹在它们当中的0自然就被看成偶数了。这就是一种合理的规定。
  2)“1为什么既不算质数,也不算合数?
    1只有一个因数即它本身,所以1不能定义为合数。如果把1当成质数,那么每个整数的质因数分解,还得把1算上,很麻烦,所以把这一特殊情况去掉比较方便。这样做,就是为了方便而做的规定,没有特别深奥的含义。
  3)“3个7相加是写成3×7还是7×3?
    “7 + 7 +7 ”用乘法书写时应该怎样写?是写成3×7还是7×3?
    其实,以往世界上通行写法是7×3,理由是算法优先:7是基本量(被乘数),3是算子(乘数)(即变换:重复3次),输出21。后来则渐渐倾向于写成3×7,理由是:要和后来的代数写法保持一致。因为3个x相加写成3x,而不是x3,这个理由很充分。而《数学课程标准》(2011版)认为“3×5也可以写成5×3”,采取了回避矛盾、模棱两可的态度,引起了许多一线的困惑和争议。事实上,乘数(算子)和被乘数(基本量)是应该区分的。由于算术和代数保持一致是大势所趋,所以采取写法3×7是合适的。

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2020年01月22日 20:13:57

最小的一位数是几?

    最小的一位数是1,不是0。原因就是研究“位数”时,最高位不能是0,如两位数不能是“01”(编码时例外)。三位数不能是012等。

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2020年01月22日 20:13:25

0.9999…=1吗?

    这确实是一个常常令人困惑的问题。一种意见是认为相等,无限过程最后能够达到。一种意见是认为不相等,无限过程永远达不到。应该怎么看呢?

    0.9999……所成的数列是一个无限数列,它的极限是1。而极限是潜无限过程,一个接一个,却永远达不到。但是,在实数范围内, 0.9999……所成的数列和常数数列1,1,1 ……是等价的,属于同一个等价类,所以,认定它们是同一个实数1。也就是说,0.9999……与1是严格相等的,因为你根本就找不出一个实数介于两者之间。这是一种证法。

    另有几种有趣的证法,摘录一二如下:

    证法一:a=0.999999……,           

        则10a=9.999999……;           

        两式相减得:9a=9,a=1;           

        ∴0.999999……=1;

    证法二:令a=1-0.999999……,           

    那么10a=10-9.999999……=1-0.999999……=a;      即10a=a,∴a=0,从而1=0.999999……。

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2020年01月22日 20:12:54

同一平面内不同的两条直线的位置关系有几种?

同一平面内不同的两条直线的位置关系,分为平行与相交两类,其分类的标准在于两条直线的公共点的个数。平行线是有零个公共点的两条直线,相交线是有一个公共点的两条直线。如果两条直线“重合”,一般认为就是同一条直线,就不在同一平面内两条直线的位置关系讨论之列。在中学几何知识中,明确并推证了不同的两条直线的公共点不能多于一个。因此在中学几何课中关于同一平面内不同的两条直线的位置关系的论述是严密的,即同一平面内不同的两条直线有且只有两种可能的位置关系。对比之下,小学几何知识中只反映了其中的“有两种可能的位置关系”而没有涉及“只有两种可能的位置关系”,但是从教学要求和学生的学习基础而言,小学几何知识中不作这样严密的论述,并非不妥。


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2019年12月31日 16:40:56

12月份工作小结

1.个税系统申报2019年11月单位人员个人所得税缴费,完善12月、2020年1月个税系统各项工资信息

2.预算执行系统申报11月份单位个人所得税缴费、12月养老保险缴费、12月职业年金缴费

3.教研综合楼的水电费、保安保洁费、各项维修费等转账、往来户对帐业务。

4.单位日常财务报销、转账、对账等相关财务工作。

5.研读五、六年级数学,整理教材重、难点知识,制定期末评价相关内容。

6.参加宝鸡市2020届高三第一次教学质量检测分题、值班。

7.完善个税App中2020年个人相关信息,系统统计个人所得税信息填写情况,在编人员核对个人信息并签字归档。

8.其它临时性工作。

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2019年12月23日 16:08:30

重建教学关系,学为中心,相机诱导

    有效的教学活动是学生学与教师教的统一。一方面,上课是以实现每一个学生的“学习”为目的的,核心素养培养的过程也侧重学生的自主探究和自我体验,更多地依靠学生自身在实践中的摸索、积累和体悟。因此,教师要从“以教师讲授为主”转向“以学生学习活动为主”来组织教学,为学生提供充分的“悟”的时间与空间。

    教学中,应注重创设合适的教学情境,提出合适的问题,启发学生独立思考或与他人进行有价值的讨论,整堂课的核心问题要少而精,提的问题不能太小,教学环节不能太细。教师不能代替学生探究,代替学生分析,要提供充分的时间让学生去独立探究与分析。教师少说话,学生多活动。让学生经历知识创建过程中的思考与发现,体验知识形成过程中的曲折与智慧,在探索与体验中形成对知识的理解与感悟,进而形成和发展数学核心素养。

比如,教学“人教版”六年级上册“工程问题”时,笔者着眼于数学模型思想的渗透,让学生经历了如下的数学建模过程。

出示例1:修一段420 米长的路,甲队单独修需要10 天完成,乙队单独修需要15 天完成。如果两队合修,几天能够完成?

生:420÷(420÷10+420÷15=6(天)

师:如果把这道题的条件改变一下,变成“210米”,猜猜看,多少天能够修完呢?(板书:猜想)

生:3 天能够修完。因为工作总量少了一半,其他条件没有变,所以工作时间也会少一半。

师:听起来很有道理!这个猜想到底对不对呢?还需要——

生:验证。(板书:验证)

出示例2:修一段210 米长的路,甲队单独修需要10 天完成,乙队单独修需要15 天完成。如果两队合修,几天能够完成?

学生开始都猜是“3 天能完成”,但通过计算却发现:210÷(210÷10+210÷15=6(天),感到很惊讶:“为什么修的路少了一半,时间却没有变化呢?”

教师顺势引导学生讨论、交流。

生:尽管工作总量缩小了一半,但是工作效率也变慢了,210÷10=21(米),比上题中的工作效率420÷10=42(米)慢了一半,所以工作时间还是6天。

接着,启发学生进一步提出新猜想:“无论修路长度怎样变化,只要甲、乙各自修完路的时间不变,合修的时间还会是6 天。”

师:这又是一个听起来很有道理的猜想,我们再来验证一下。(板书:再猜想—再验证)

出示例3:修一段150 米长的路,甲队单独修需要10 天完成,乙队单独修需要15 天完成。如果两队合修,几天能够修完?

生(兴奋地):150÷(150÷10+150÷15=6(天)

师:果然如此!合作完成的时间和道路总长度真的没有关系!那么,既然没什么关系,我们干脆把“道路总长”这个条件去掉。

出示例4:修一段路,甲队单独修需要10 天完成,乙队单独修需要15 天完成。如果两队合修,几天能够修完?

少数学生感到有困难,无从下手;部分学生想到了举例子的方法,假设路长是某个具体的数,再列式解答;但是,也有更多的学生想到了下面的方法。

生:用“1”来表示道路总长,1÷10= ,算出来甲的工作效率;1÷15= ,算出来乙的工作效率;1÷+ =6(天)。(听完讲解,教室里响起一片恍然大悟后的惊呼声——“原来还可以这样做!”)

师:刚才我们把这道修路的问题不断变换条件,得出了黑板上的这四种算法,比较一下,哪种方法更加简便?(第四种)想一想,前三道题目也能用第四种方法做吗?为什么?

生:能用,因为不管道路总长是420 米、210 米,还是150 米,都可以看作“1”。

师:是的,这种问题在数学上叫作“工程问题”(板书:工程问题)。

纵观整个学习过程,学生经历了“猜想—验证—再猜想—再验证”的思维过程。每一次探究,每一次比较,每一次抽象,学生都在体会题目的结构特点,都在感悟数学思想,抽象、模型等数学思想在建模过程中得到了有效的渗透。

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2019年12月23日 16:03:56

为什么要用商去乘除数的准确值?

小学数学里的许多知识(包括性质、规律、法则等)背后,常常蕴藏着更为一般的原理,是一般原理在特定情境中的表现。但现实中,很多教师都不大善于讲道理,最擅长的是让学生记住法则、记住公式、背会定义,然后不断练习。其实,学习数学不应该是死记硬背的,帮助学生“悟出”数学知识中蕴含的道理,能使学生更好地把握知识的本质,促进学生数学素养的提升

    “除数是两位数的除法——用四舍五入法试商”是学生第一次接触“试商”,课前调研发现,学生学习新知的主要障碍在于搞不清楚“把除数用‘四舍五入法’取近似值之后,商应该要去乘除数的准确值还是近似值”。怎样帮助学生突破这一学习难点,使学生理解“数的运算也是讲道理的,不是按照程序机械运行”的呢?我在教学中做了如下尝试。



师:老师到商场买魔方,发现有三种样式,价格分别是20/个、31/个、38/个(显示:魔方图片)。老师带了170元钱,大概能买几个31元的魔方呢?

学生独立计算,全班交流。

1:我先把31元看成30元,如果商6的话就要180元了,钱就不够了,所以商5531155170减去155剩下15

2:我的方法是先看170的前两位,发现不够除31,就把31估成30170里面最多有530,所以商5,再算315155,最后余15

师:生1和生2的算法有什么相同之处?

3:他们都是先把31看成30,再商5,然后用53115517015515

师:我发现有同学这样计算(投影显示错误做法,如下图),这种做法对吗?

4:不对,他是用商5去乘估计的数30了,应该是精确算而不是估算,应该用5去乘31等于155

5:如果用5去乘30的话,题目就变成170除以30了。

师:我们还可以联系生活想一想,老师买5个魔方,付钱的时候,是付531元呢,还是付530元?

生(齐):肯定是531元喽。

师:如果我付530元,如果你是收银员,你会同意吗?

生(齐):不会。

生:除非商场搞促销。(众笑)

师:是的,付钱的时候要付531元。所以,商5要去乘31,而不能去乘30

6:我想补充一下,我们把31元估成30元是为了好算,接下来的商还是要去乘原来的准确数的。

师:说得真好!假如老师要买38元一个的魔方,又能买几个呢?你会算吗?试试看。

学生独立计算,个别板演,全班交流。(师巡视时发现已经没有学生用近似数40去乘商了。)

1:我先把38元看成40元,170除以404,再用438152,余18元。

师:很好,剩下18元。那这152表示的是什么呢?

2:表示的是买438元魔方的钱。(在算式的152旁边板书4×38

师:有没有谁付钱的时候是按照40元一个付给营业员的呀?

生(齐):没有。

生:那不是给营业员小费了嘛。(众笑)

……

    在上述教学中,教师精心创设了“买魔方”的生活情境,其所蕴含的“数学结构”与所学知识的结构相吻合,其所蕴含的经验能够很好地解释抽象的算理。学生结合生活情境深刻地理解了“应该去乘准确值而不应乘近似值”的道理,很好地突破了教学难点。

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2019年12月23日 15:56:54

辅导孩子写作业,怎么才有效?

01    检查孩子作业时重点看什么


做完作业时发现有不正确的地方,首先不要指出具体错误之处,而是说出大体范围,如“做得不错,但这个题有些不对的地方,你再看看。”或者在有问题的地方画上—个小圆圈,让孩子自已找出不正确的地方,以改之。若孩子找出来了,就称赞孩子聪明、能干。


三年级以后,重点检查孩子做题的思路,算式的列法是否正确,而计算的结果一般不检查,由孩子自已确认。如果计算结果错了,老师批改或考试时,判了xx,就让孩子自己去心疼、后悔,家长还装着深表遗憾、同情的样子:“真可惜,这儿错了一点,没得满分。没关系,下次注意一点,会考好的。”检查语文作业,发现错别字,只在下面画个小圆点,由孩子自己查字词纠正;这样就能培养孩子对自己负责任、认真仔细的学习品质。


02  不要盯着孩子写作业


有的家长喜欢盯着孩子做作业,一旦发现有问题,或字写错、写歪了,一边帮着孩子涂擦,一边批评、埋怨、责怪孩子:“怎么搞的,又做错了,总是改不掉。”“说过多少遍,就是记不住,气死人的!”我们可以想象孩子在这种紧张、焦虑的氛围中,他学习的兴趣和能量之门还能打开吗?这个时候,家长再怎么说教,他是听不进去的,也是改不过来的。


建议做法是,首先过问一下有多少家庭作业,然后叫孩子自己去做,我们轻手轻脚地做自己的事,不轻意打扰孩子,等他做完了再按上述方法检查。



03  如何培养孩子专心写作业的习惯


很多家长说自己的孩子写作业不专心、爱拖拉,只几道题目也要做好半天,不知道该怎么办。


a.利用“限时鼓励法”来纠正


首先了解一下孩子的作业量,心里估计一个完成的时间,然后征询孩子,如“语文40分钟能做完吗?数学30分钟能做完吗?如果在规定时间做完,给你贴上一个小星星,当达到5颗小星星的时候,爸爸会奖励一个你喜欢的东西或带你到xxx地方去玩。”通常情况下,孩子会乐意接受的。


若发现孩子写作业时有不专心的表现,只要不是太过分,就让他动一动好了,毕竟家里是一个歇息的地方,比学校要自由得多。如果孩子注意力太不集中,有拖拉的行为,大人可在旁边提醒一下,如“己经做了15分钟了,加油!小星星在等着你呢!”这时,孩子也许会集中精力继续做下去。


提醒家长注意的是,这种“限时鼓励法”是为了首先纠正孩子做作业施拉的坏习惯,他在规定的时间内将作业写完就算达到了目的,要给予表扬,至于作业质量是否满意,是后一步的事。


只要孩子有了一点点进步就要称赞,不能这样说:“虽然在规定时间内完成了,但写得不认真,还做错了几题,快去改改!”如果这样处理问题,不断不能纠正孩子做作业施拉的习惯,而且还打击了孩子的学习积极性。


如果换一种方式:“你在规定的时间内做完了作业,这很好,爸爸首先给你贴上一个小星星,继续加油。只是这儿好像做得不对,你自己再去检查一下好吗?”如果这样对待孩子,他一定会高兴接受的。做家长的要有耐心,只要孩子每天有一点进步,就是值得高兴和称赞的事。培养孩子的学习好习惯要一步一步地来做,不能性急。


b. 利用“中途安抚法”来纠正


当发现孩子做作业拖拉,家长感到必须制止时,可以走到孩子身边,用手边抚摸他的头,边说:“是不是遇到了难题,做不下去了,要不要妈妈帮你一下?”这样首先把孩子的注意力拉回到学习上。


通常情况下,孩子会说没有难题会做,这时大人要表现出一种平静的神情:“你很聪明,马上会做完的,妈妈等着你好吗?”这种方法,实际上首先是中止了孩子拖拉的行为,然后使孩子明白:大人在关注他,希望他快一点完成作业。


对待做作业拖拉、爱玩的孩子,不能在一旁总是用责怪、数落、抱怨的语言说教他,如,“做作业总是不专心,真是个‘拖皮鬼’。”“快做,不要玩。”“几道题,也要做半天,真没出息。”越是责骂、数落孩子,越会加重他的坏习惯。


c. 利用“直接要求法”来纠正


如果上述两种方法都不管用,还有一种方法可以使用:“直接要求法”。这种方法就是,事先了解一下孩子的作业量,然后直接提出完成的时间,如今天的语文作业不算多,用20分钟完全可以做完,数学稍微多一点,用35分钟做完。


如果在规定时间没完成,到了时间,爸爸便会收起你的作业,装在书包里,不能在家继续做了。老师发现你的作业没做完,会处罚你的,由此而产生的责任完全由你自己承担。当然,你觉得时间不够,现在可以提出来,我们再商定完成时间。”那么,大人说到就要做到,当然,在执行这一规定时,情绪要平静,不能发火。


要让孩子明白:大人说话是算数的,不是闹着玩的。这种方法是不得己而为之,带有强迫性,要事先与老师取得联系,请老师作好配合,以免老师认为家长不检查作业,把教育孩子的责任都推给了老师。


04  如何点拨孩子做习题


不是所有的孩子都不需家长点拨不会做的习题或“爬坡”难题,家长作出相应的辅导和点拔,是必要也是必须的。因为,小学生的学习能力有限,需要大人的诱导和培养。只是在辅导、点拨时要讲究技巧,其方法是:


a. 让孩子反复读题


许多题目并不难,只是孩子缺乏耐心阅读原题。往往只看了一遍,就感到不会做、很难,这是一种消极的心理暗示。如果大人总是迁就孩子这种消极心理,立即告诉他如何做,甚至将算式都列好了,就会使孩子养成遇到问题不想思考,依赖他人解决的坏习惯。正确的方法是:“你很聪明,妈妈相信你,只要多读几遍原题,你会做得出来的。”当孩子做出来以后,大人要高兴地称赞:“我说你很聪明吧,只要仔细一读题,就会做了。”这时,孩子也一定会高兴起来。


孩子不会做的题,大人坚持让他“再读一遍”、“再读一遍”……不轻意告诉他,这种鼓励式的读题法是能够“逼”出孩子主动学习的兴趣,从而获得自信。


b.用例题作辅导


对于孩子经过思考实在不会做的题目,大人也不要直接告诉原题的解法,最好的方法是根据原题,编一个相似的例题,与孩子一起分析、讨论,弄懂弄通例题,再让孩子去做原题。由于弄懂了例题,孩子多半会做原题,如果仍然不会做原题,那么应再回到例题的讨论与计算上。经过几个来回,只要家长有耐心引导,孩子一定会做原题。这种做法,虽然大人要麻烦一些,但能够训练孩子举一反三的迁移能力。否则,孩子总是处在就题解题的被动思维定式中,很难建立学习的思维迁移模式。


会学习的孩子,说到底就是具备了举一反三的迁移能力,能够以弄懂例题为基础,去应对千变万化的习题。这就叫做“活读书”,而不是“死读书”。有的家长,似乎很疼爱孩子,生怕他多动脑,一遇到难题,就告诉其做法,这是一种不好的方法,应该避开。


c. 只讲关键点


对于有些数学难题,家长一时也编不好例题,那么,可以就这个原题,分析它的关键点在哪里,找到什么条件就好解题了,让孩子根据大人的提示,去思考、去列式计算。而不能将算式直接列出来,或告诉孩子第—步做什么,第二步再做什么……如果这样辅导孩子,那么他的解题思路永远打不开。


当然,孩子到了上四年级以后,数学题都很难了,许多爬坡题家长也无能为力,需要请家教辅导,建议家长要求家教按上述方法去辅导孩子,不要一来就直接告诉孩子怎么列算式,怎么做题,如果是这样,看起来孩子的难题解决了,但思路总打不开。



05    课后这样复习,学习更高效


课后复习是学习的重要环节,是与遗忘斗争的有力武器。下面分享怎样抓好这一环节,从而提高学习效率!


1.在理解的基础上复习


理解后的知识易记难忘,理解是记忆的前提和基础。学生必须做到:上课高度集中注意力把课听懂、积极思考、当天解决疑难。


2.及时复习


遗忘的规律是先快后慢,先多后少。对新知识要“趁热打铁”抓紧时间复习和巩固,写完作业再看看书,理一理知识脉络。


3.经常复习


复习的次数要先密后疏,刚学过的知识遗忘得又快又多,复习次数要相对多一点,间隔时间也相对短一些,随记忆巩固程度的加深,间隔时间可以越来越长。


4.复习时做好四件事


尝试回忆,看教科书,整理笔记,看参考书。


5.复习时的“五到”


即眼到、手到、口到、耳到、心到。尤其以心到最为重要,全身心投入、多器官感知信息,记忆的效率就高。


6.固定时间内复习固定内容


在某一固定的时间内做某一类事情可获得最佳效果的生理、心理规律是人体生物钟现象。比如早上和晚上8至9点,记忆力强,可复习英语、语文、政治、历史,下午演算和抽象思维能力较强,可复习数理化。


7.适时做好系统性复习


一个星期、一个月或学完一单元,把各科知识整理归类,系统复习,知识能很清晰地印在大脑里。


8.复习计划与时间分配


每天对各门功课的复习做出明确安排,处理好各门功课的关系,既不要用时不平衡,又不要不分重点和自己的弱科而平均用力。


9.复习目标


复习要有切合自己实际学习能力的目标,并且有达不成目标的自我处罚措施。给自己适当的学习压力,提高复习效率。


10.最大限度利用时间复习


利用起平时一些闲散、短暂的时间,可以把每科的基础知识做成一张张小卡片带在身边,随时拿出来复习和巩固。

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2019年12月23日 15:54:02

听过课后这样点评,让别的教师对你刮目相看

如果说听课活动是了解师生活动、诊断课堂存在问题、学习借鉴同行优势的重要手段,那么,评课活动就是教师交流教学经验、研究教材教法、探讨经验、自我检验的重要形式。听课活动严格来说就是包含两个方面的内容:听课、评课。只听不评,因为教无定法,个人的看法往往有失偏颇,不能代表集体的看法。简单来说,如果不评课,这个听课老师说这节课讲得好,那个老师说这节课讲得不好,都能找到支撑自己观点的出处。各人“消化”各人眼中的优点或缺点,让大家都不能得到提升。所以,听过课后一定要评课,评课是发动集体的智慧,找到这节课的闪光点和不足之处,让所有教师都能取长补短、得到不同程度的提高。

评课时,我们首先要本着一个原则——鼓励的原则。无论授课教师课讲得怎么样,但他付出了劳动,我们要尊重人家的劳动成果,所以在评课之初,我们首先要予以鼓励“水不激不活,人不激不发”。要给授课教师以信心,帮助他提高授课水平。关于一节好课的标准,不同专家有不同的解读,最常见的说法是要具备以下四点:目标明确、方法适当、时间紧凑、教学基本功扎实。那么,我们在评课时,可以围绕这四个方面进行点评,这样不但可以避免不知从何处说起的尴尬,还可以做得有的放矢,点评得很有深度。

一、点评教学目标看授课教师制定的教学目标是否全面、具体、具有可操作性、重难点突出。笔者听过很多新教师授课时把课堂目标制定为,1、整体感知课文。2、把握作者思想感情,这样的课时目标大而空,也很难用这样的目标引领课堂流程,更不容易检测学生到底有没有完成目标。所以,要看他的教学目标制定是否能体现学段、年级、单元教材特点,是否符合学生年龄和认知规律,还要看目标制定的是否难易适中。最后,再看他的课堂活动是否紧紧围绕课堂目标进行,采取的教学方法是否是为目标服务,通过检查看学生是否掌握目标要求。

二、点评教学方法教学的方法有讲授法、讨论法、直观演示法、练习法、还有读书指导法、任务驱动法、参观教学法、现场教学法、自主学习法等等。虽然说“教无定法,贵在得法”,但如果教师能根据教学目标“量体裁衣”优选活用的话,不但课堂活跃,富有艺术性,还能紧紧吸引学生注意力,很好的完成教学任务。所以,看他运用了怎样的教学手段,是否科学得当;看学生是否愿意参与,主动学习;看他有没有自己的改革和创新,形成自己自成一体的教学风格。

三、点评课堂安排、时间分配看授课教师是否讲授过多占用了太多的时间,而导致学生活动时间减少;看学生个人活动时间与集体、小组活动时间安排是否合理;看课堂有无前松后紧或前紧后松的现象;看是否给学生留下了当堂检测的时间。

四、点评教师基本功

现在早已不是“一支粉笔、一本书,一个嘴巴讲半天”的时代了,新时代对教师提出更严、更高的要求。首先要看教师是否会运用现代化的教学手段,投影仪、录音机、PPT等都是有效的教学辅助手段,看教师能否熟练掌握。

另外还要看教师的仪态是否端庄,普通话是否标准,板书是否规范等。

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2019年12月23日 15:52:52

小学“统计与可能性”知识要点

(一)统 计


一、我们通常都是通过打勾、画圆、划“正”字的方法进行数据的收集和整理。


二、常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。


三、条形统计图的特点:从图中能清楚地看出各种数量的多少,便于比较。


四、折线统计图的特点:不但能看出各种数量的多少,而且还能够清楚地表示出数量增减变化的情况。


五、扇形统计图的特点:表示各部分和总数之间,以及部分与部分之间的关系。


六、中位数、众数、平均数

名称

意义

计算方法

中位数

一组数中间的一个数或中间两个数的平均数。

中间的一个数或中间两个数的和÷2

众数

一组数中出现次数最多的数。

出现次数最多的数

平均数

反映一组数的总体水平的数据。

平均数=总数÷份数

(二)可能性

一、

事件状态

生活情景

数学情景

一定会发生

太阳从东方升起

从5个红球中摸出一个红球

一定不会发生

鸭子会讲话

从5个红球中摸出一个白球

可能发生

今天会下雨

从5个红球,1个白球中摸出一个白球


二、在可能性相同的情况下,比赛游戏规则是公平的。

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2019年12月23日 15:51:55

小学“空间与图形”知识要点

(一)图形的认识、测量

量的计量


一、长度单位是用来测量物体的长度的。常用的长度单位有:千米、米、分米、厘米、毫米。


二、长度单位

1千米=1000米

1米=10分米

1分米=10厘米

1厘米=10毫米

1米=100厘米

1米=1000毫米


三、面积单位是用来测量物体的表面或平面图形的大小的。常用面积单位:平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。


四、测量和计算土地面积,通常用公顷作单位。边长100米的正方形土地,面

积是1公顷。


五、测量和计算大面积的土地,通常用平方千米作单位。边长1000米的正方形土地,面积是1平方千米。


六、面积单位:(100)

1平方千米=100公顷

1公顷=10000平方米

1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米


七、体积单位是用来测量物体所占空间的大小的。常用的体积单位有:立方米、立方分米(升)、立方厘米(毫升)。

八、体积单位:(1000)

1立方米=1000立方分米

1立方分米=1000立方厘米

1升=1000毫升


九、常用的质量单位有:吨、千克、克。


十、质量单位

1吨=1000千克

1千克=1000克


十一、常用的时间单位有:

      世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒。

十二、时间单位:(60)

1世纪=100年

1年=12个月

1年=4个季度

1个季度=3个月

1个月=3旬

大月=31天

小月=30天

平年二月=28天

闰年二月=29天

1天=24小时

1小时=60分

1分=60秒


十三、高级单位的名数改写成低级单位的名数应该乘以进率;低级单位的名数改写成高级单位的名数应该除以进率。


十四、常用计量单位用字母表示

千米:km

米:m

分米:dm

厘米:cm

毫米:mm

吨:t

千克:kg

克:g

升:l

毫升:ml


平面图形【认识、周长、面积】


一、用直尺把两点连接起来,就得到一条线段;把线段的一端无限延长,可以得到一条射线;把线段的两端无限延长,可以得到一条直线。线段、射线都是直线上的一部分。线段有两个端点,长度是有限的;射线只有一个端点,直线没有端点,射线和直线都是无限长的。


二、从一点引出两条射线,就组成了一个角。角的大小与两边叉开的大小有关,与边的长短无关。角的大小的计量单位是(°)。


三、角的分类:小于90度的角是锐角;等于90度的角是直角;大于90度小于180度的角是钝角;等于180度的角是平角;等于360度的角是周角。


四、相交成直角的两条直线互相垂直;在同一平面不相交的两条直线互相平行。


五、三角形是由三条线段围成的图形。围成三角形的每条线段叫做三角形的边,每两条线段的交点叫做三角形的顶点。


六、三角形按角分,可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

按边分,可以分为等边三角形、等腰三角形和任意三角形。


七、三角形的内角和等于180度。


八、在一个三角形中,任意两边之和大于第三边。


九、在一个三角形中,最多只有一个直角或最多只有一个钝角。


十、四边形是由四条边围成的图形。常见的特殊四边形有:平行四边形、长方形、正方形、梯形。


十一、圆是一种曲线图形。圆上的任意一点到圆心的距离都相等,这个距离就是圆的半径的长。通过圆心并且两端都在圆的线段叫做圆的直径。


十二、有一些图形,把它沿着一条直线对折,直线两侧的图形能够完全重合,这样的图形就是轴对称图形。这条直线叫做对称轴。


十三、围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。


十四、物体的表面或围成的平面图形的大小,叫做它们的面积。


十五、平面图形的面积计算公式推导:

【1】平行四边形面积公式的推导过程?


  ①把平行四边形通过剪切、平移可以转化成一个长方形。

    ②长方形的长等于平行四边形的底,长方形的宽等于平行四边形的高,长方形的面积等于平行四边形的面积。

    ③因为:长方形面积=长×宽,所以:平行四边形面积=底×高。即:S=ah。

   

【2】三角形面积公式的推导过程?

   
   
①用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。

    ②平行四边形的底等于三角形的底,平行四边形的高等于三角形的高,三角形面积等于和它等底等高的平行四边形面积的一半

    ③因为:平行四边形面积=底×高,所以:三角形面积=底×高÷2。即:S=ah÷2。

【3】梯形面积公式的推导过程?


①用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。

②平行四边形的底等于梯形的上底和下底的和,平行四边形的高等于梯形的高,梯形面积等于平行四边形面积的一半。

③因为:平行四边形面积=底×高,所以:梯形面积=(上底+下底)×高÷2。即:S=(a+b)h÷2。

【4】画图说明圆面积公式的推导过程


①把圆分成若干等份,剪开后,拼成了一个近似的长方形。

②长方形的长相当于圆周长的一半,宽相当于圆的半径。

③因为:长方形面积=长×宽,所以:圆面积=πr×r=πr2。即:S=πr2。

十六、平面图形的周长和面积计算公式:

长方形周长 =(长+宽)× 2

C = πd

S = πr2

长方形面积 = 长 × 宽

C = 2πr

S =π()2

正方形周长 = 边长 × 4

r= d÷2

S=π()2

正方形面积 = 边长 × 边长

r=C ÷2π

平行四边形面积 = 底 × 高

d=2r

三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2

d=c ÷π


十七、常用数据:

常用π值

常用平方数

2π=6.28

12π=37.68

12= 1

3π=9.42

15π=47.1

22=4

4π=12.56

16π=50.24

32=9

5π=15.70

18π=56.52

42=16

6π=18.84

20π=62.8

52=25

7π=21.98

25π= 78.5

62=36

8π=25.12

32π=100.48

72=49

9π=28.26

2.25π=7.065

82=64

10π=31.4

6.25π=19.625

92=81


立体图形【认识、表面积、体积】


一、长方体、正方体都有6个面,12条棱,8个顶点。正方体是特殊的长方体。


二、圆柱的特征:一个侧面、两个底面、无数条高。


三、圆锥的特征:一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高。


四、表面积:立体图形所有面的面积的和,叫做这个立体图形的表面积。


五、体积:物体所占空间的大小叫做物体的体积。容器所能容纳其它物体的体积叫做容器的容积。


六、圆柱和圆锥三种关系:

  ①等底等高:体积1︰3 

    ②等底等体积:高1︰3 

    ③等高等体积:底面积1︰3


七、等底等高的圆柱和圆锥:

    ①圆锥体积是圆柱的1/3,     

    ②圆柱体积是圆锥的3倍,

    ③圆锥体积比圆柱少2/3,     

    ④圆柱体积比圆锥多2倍。


八、等底等高的圆柱和圆锥:锥1、差2、柱3、和4。


九、立体图形公式推导:


【1】圆柱的侧面展开后得到一个什么图形?这个图形的各部分与圆柱有何关系?(圆柱侧面积公式的推导过程)


①圆柱的侧面展开后一般得到一个长方形。   

②长方形的长相当于圆柱的底面周长,长方形的宽相当于圆柱的高。

③因为:长方形面积=长×宽,所以:圆柱侧面积=底面周长×高。

④圆柱的侧面展开后还可能得到一个正方形。

  正方形的边长=圆柱的底面周长=圆柱的高。

【2】我们在学习圆柱体积的计算公式时,是把圆柱转化成以前学过的一种立体图形(近似的)进行推导的,请你说出这种立体图形的名称以及它与圆柱体有关部分之间的关系?

①把圆柱分成若干等份,切开后拼成了一个近似的长方体。

②长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高等于圆柱的高。

③因为:长方体体积=底面积×高,所以:圆柱体积=底面积×高。即:V=Sh。


【3】请画图说明圆锥体积公式的推导过程?


找来等底等高的空圆锥和空圆柱各一只。

②将圆锥装满沙子,倒入圆柱中,发现三次正好装满,将圆柱里的沙子倒入圆锥中,发现三次正好倒完。

③通过实验发现:圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一;圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的三倍。即:V=1/3Sh。


十、立体图形的棱长总和、表面积、体积计算公式: 

名称

计算公式

长方体棱长总和

长方体棱长总和 = (长+宽+高)× 4

长方体表面积

长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2

长方体体积

长方体体积=长×宽×高

正方体棱长总和

正方体棱长总和=棱长×12

正方体表面积

正方体表面积=棱长×棱长×6

正方体体积

正方体体积=棱长×棱长×棱长

圆柱体侧面积

圆柱体侧面积=底面周长×高

圆柱体表面积

圆柱体表面积=侧面积+底面积×2

圆柱体体积

圆柱体体积=底面积×高

圆锥体体积

圆锥体体积=Sh

(二)图形与变换


一、变换图形位置的方法有平移、旋转等,在变换位置时,每个图形的相应顶点、线段、曲线应同步平移,旋转相同的角度。


二、不改变图形的形状,只改变它的大小时,通常要使每个图形的要素,如长方形的长与宽,三角形的底与高等同时按相同比例放大或缩小。


三、对称图形是对称轴两边的图形经对折后能够完全重合,而不是完全相同。

(三)图形与位置


一、当我们处在实际生活及情景中,面对教短距离时,通常用上、下、前、后来描述具体位置。


二、当我们面对地图、方位图时,通常用东、西、南、北,南偏东、北偏东……来描述方向。再结合所示比例尺计算出具体距离,把方向与距离结合起来确定位置。

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2019年12月23日 15:50:29

小学“数与代数”知识要点

(一)数的认识

整数【正数、0、负数】


一、一个物体也没有,用0表示。0和1、2、3……都是自然数。自然数是整数。


二、最小的一位数是1,最小的自然数是0。


三、零上4摄氏度记作+4℃;零下4摄氏度记作-4℃。“+4”读作正四。“-4”读作负四。+4也可以写成4。


四、像 +4、19、+8844这样的数都是正数。像-4、-11、-7、-155这样的数都是负数。


五、0既不是正数,也不是负数。正数都大于0,负数都小于0。


六、通常情况下,比海平面高用正数表示,比海平面低用负数表示。


七、通常情况下,盈利用正数表示,亏损用负数表示。


八、通常情况下,上车人数用正数表示,下车人数用负数表示。


九、通常情况下,收入用正数表示,支出用负数表示。


十、通常情况下,上升用正数表示,下降用负数表示。



小数【有限小数、无限小数】


一、分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示。一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……


二、整数和小数都是按照十进制计数法写出的数,个、十、百……以及十分之一、百分之一……都是计数单位。每相邻两个计数单位间的进率都是10。


三、每个计数单位所占的位置,叫做数位。数位是按照一定的顺序排列的。


四、小数的性质:小数的末尾添上“0”或去掉“0”,小数的大小不变。


五、根据小数的性质,通常可以去掉小数末尾的“0”,把小数化简。


六、比较小数大小的一般方法:先比较整数部分的数,再依次比较小数部分十分位上的数,百分位上的数,千分位上的数,从左往右,如果哪个数位上的数大,这个小数就大。


七、把一个数改写成用“万”或“亿”作单位的数,在万位或亿位右边点上小数点,再在数的后面添写“万”字或“亿”字。


八、求小数近似数的一般方法:1先要弄清保留几位小数;2根据需要确定看哪一位上的数;3用“四舍五入”的方法求得结果。


分数【真分数、假分数】


一、把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数,是这个分数的分数单位。


二、两个数相除,它们的商可以用分数表示。即:a÷b=a/b(b≠0)


三、从小数和分数的意义可以看出,小数实际上就是分母是10、100、1000…的分数。


四、分数可以分为真分数和假分数。


五、分子小于分母的分数叫做真分数。真分数小于1。


六、分子大于或等于分母的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。


七、分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。


八、分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(零除外),分数的大小不变。


九、小数的性质和分数的基本性质一致,应用分数的基本性质,可以通分和约分。


百分数【税率、利息、折扣、成数】


一、表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数也叫百分率或百分比,百分数通常用“%”表示。


二、分数与百分数比较:

不同点

相同点

分  数

可以表示具体数量,可以有单位名称

表示两个数之间的关系

百分数

不可以表示具体数量,不可以有单位名称


三、分数、小数、百分数的互化。

(1)把分数化成小数,用分数的分子除以分母。

(2)把小数化成分数,先改写成分母是10、100、1000……的分数,再约分。

(3)把小数化成百分数,先把小数点向右移动两位,然后添上百分号。

(4)把百分数化成小数,先去掉百分号,然后把小数点向左移动两位。

(5)把分数化成百分数,先把分数化成小数(除不尽时通常保留三位小数),再把小数化成百分数。

(6)把百分数化成分数,先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。


四、熟记常用三数的互化。


五、

1、出勤率表示出勤人数占总人数的百分之几。 

2、合格率表示合格件数占总件数的百分之几。 

3、成活率表示成活棵数占总棵数的百分之几。


六、求一个数比另一个数多百分之几,就是求一个数比另一个数多的占另一个数的百分之几。


七、1、多的÷“1”=多百分之几      2、少的÷“1”=  少百分之几   


八、应得利息是税前利息,实得利息是税后利息。


九、利息 = 本金 × 利率 × 时间


十、应得利息 -利息税 = 实得利息


十一、几折表示十分之几,表示百分之几十;几几折表示十分之几点几,表示百分之几十几。


十二、

1、原价×折扣=现价     

2、现价÷原价=折扣     

3、现价÷折扣=原价


十三、几成表示十分之几,表示百分之几十;几成几表示十分之几点几,表示百分之几十几。


因数与倍数【素数、合数、奇数、偶数】


一、4 × 3 = 12,12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。


二、一个数最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。


三、一个数最小的因数是1,最大的因数是它本身。一个数因数的个数是有限的。


四、5的倍数:个位上的数是5或0。

2的倍数:个位上的数是2、4、6、8或0。2的倍数都是双数。

3的倍数:各位上数的和一定是3的倍数。


五、是2的倍数的数叫做偶数。不是2的倍数的数叫做奇数


六、一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数就叫做素数(或质数)。


七、一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数就叫做合数


八、在1—20这些数中: (1既不是素数,也不是合数

  奇数:1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。

  偶数:2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。

  素数:2、3、5、7、11、13、17、19。(共8个,和为77。

合数:4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。(共11个,和为132。


九、最小的奇数是1,最小的偶数是0,最小的素数是2,最小的合数是4。


十、如果两个数是倍数关系,则大数是最小公倍数,小数是最大公因数。


十一、如果两个数只有公因数1,则最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。

(二)数的运算

计算法则【整数、小数、分数】


一、计算整数加、减法要把相同数位对齐,从低位算起。


二、计算小数加、减法要把小数点对齐,从低位算起。


三、小数乘法:1、先按整数乘法算出积是多少,看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。

  2、注意:在积里点小数点时,位数不够的,要在前面用0补足。


四、小数除法:

1、商的小数点要和被除数的小数点对齐;

2、有余数时,要在后面添0,继续往下除;

3、个位不够商1时,要在商的整数部分写0,点上小数点,再继续除。

4、把除数转化成整数时,除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也要向右移动几位。

5、当被除数的小数位数少于除数的小数位数时,要在被除数的末尾用0补足。


五、一个小数乘10、100、1000……只要把这个小数的小数点向右移动一位、两位、三位……


六、一个小数除以10、100、1000……只要把这个小数的小数点向左移动一位、两位、三位……


七、分数加、减法:1同分母分数相加减,把分子相加减,分母不变。2异分母分数相加减,要先通分化成同分母分数,然后再相加减。


八、分数大小的比较:1同分母分数相比较,分子大的大,分子小的小。2异分母的分数相比较,先通分然后再比较;若分子相同,分母大的反而小。


九、分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。


十、甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。


四则运算关系

加法

一个加数 = 和-另一个加数

减法

被减数 = 差 + 减数

减数 = 被减数  - 差

乘法

一个因数 = 积 ÷ 另一个因数

除法

被除数 = 商 × 除数

除数 = 被除数  ÷ 商


两个规律


一、除法的商不变规律:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。


二、乘法的积不变规律:如果一个因数乘几,另一个因数则除以几,那么它们的积不变。


简便计算


一、运算定律:

运算定律

用字母表示

加法交换律

a+b=b+a

加法结合律

(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律

a×b=b×a

乘法结合律

(a×b)×c=a×(b×c)

乘法分配律

(a+b)×c=a×c+b×c

减法运算规律

a-b-c=a-(b+c)

除法运算规律

a÷b÷c=a÷(b×c)

二、乘、除法的互化。(小技巧:符号是相反的;两个数相乘得“1”。)

(1)A÷0.1=A×10

(2)A×0.1=A÷10

      (7)A÷0.01=A×100;

      (8)A×0.01=A÷100

(3)A÷0.2=A×5

(4)A×0.2=A÷5

      (9)A÷0.25=A×4

      (10)A×0.25=A÷4

(5)A÷0.5=A×2

(6)A×0.5=A÷2

      (11)A÷0.125=A×8

      (12)A×0.125=A÷8

三、求近似数的方法。

①四舍五入法。②进一法。 ③去尾法。


四、积与因数、商与被除数的大小比较:

第2个因数>1,积>第1个因数;

第2个因数=1,积=第1个因数;

第2个因数<1,积<第1个因数。

除数>1,商<被除数;

除数=1,商=被除数;

除数<1,商>被除数;


数量关系

单价×数量=总价

总价÷数量=单价

总价÷单价=数量

工作效率×工作时间=工作总量

工作总量÷工作时间=工作效率

工作总量÷工作效率=工作时间

速度×时间=路程

路程÷时间=速度

路程÷速度=时间

速度和×相遇时间=路程

路程÷相遇时间=速度和

路程÷速度和=相遇时间

三、式与方程

用字母表示数


一、在一个含有字母的式子里,数字和字母、字母和字母相乘时,中间的乘号可以记作“· ”,也可以省略不写。在省略数字与字母之间的乘号时,要把数字写在字母的前面。


二、2a与a2意义不同:2a表示两个a相加,a2表示两个a相乘。即:2a=a+a,a2= a×a。


三、用字母表示数:

①用字母表示任意数:如X=4  a=6   

②用字母表示常见的数量关系:如s=vt

③用字母表示运算定律:如a+b=b+a

④用字母表示计算公式:S=ah


方程与等式


一、含有未知数的等式叫做方程。         


二、使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。


三、求方程的解的过程,叫做解方程。       


四、方程和等式的联系与区别:

方  程

等  式

联 系

方程一定是等式,等式不一定是方程

区 别

含有未知数

不一定含有未知数


五、等式的基本性质(一): 等式两边同时加上(或减去)一个相同的数,所得结果仍然是等式。


六、等式的基本性质(二):等式两边同时乘(或除以)一个不等于零的数,所得结果仍然是等式。


七、列方程解应用题的一般步骤:

①弄清题意,找出未知数并用X表示。

②找出应用题中数量间的相等关系,并列出方程。

③求出方程的解。

④检验或验算,写出答案。

(四)正比例与反比例

比和比例

一、比和比例的联系与区别:

1、意义不同

比的意义

两个数相除又叫做两个数的比。

比例的意义

表示两个比相等的式子叫做比例。

2、名称不同

比的名称

两点读作比,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。

比例的名称

组成比例的四个数叫做比例的项,两端的两项叫做比例的的外项,中间的两项叫做比例的内项。

3、性质不同

比的性质

比的前项和后项同时乘或者除以相同的数(0除外),比值不变。

比例的性质

在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。

4、应用不同

应用比的意义

求比值。

应用比的性质

化简比。

应用比例的意义

    判断两个不能否组成比例。

应用比例的性质

    不但可以判断两个比能否组成比例,还可以解比例。

二、比同分数、除法的联系与区别:

分数

除法

前项

分子

被除数

比号

分数线

除号

后项

分母

除数

比值

分数值

比的基本性质

分数的基本性质

除法的商不变性质

比表示两个数之间的关系。

分数表示一个数。

  除法表示一种运算。


三、求比值与化简比的区别:

一 般 方 法

结    果

求比值

根据比值的意义,用前项除以后项。

是一个数。可以是整数、小数或分数。

化简比

根据比的基本性质,把比的前项和后项都乘或除以相同的数(零除外)。

是一个比。它的前项和后项都是整数,并且是互质数。


四、化简比:

  ①整数比的化简方法是:用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。

  ②小数比的化简方法是:先把小数比化成整数比,再按整数比化简方法化简。

  ③分数比的化简方法是:用比的前项和后项同时乘以分母的最小公倍数。


五、比例尺:我们把图上距离和实际距离的比叫做这幅图的比例尺。


六、比例尺=图上距离︰实际距离  比例尺 = 图上距离 / 实际距离

正比例、反比例


一、正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系就叫做正比例关系。


二、反比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系就叫做反比例关系。                     

三、正比例与反比例的区别:

正 比 例

反 比 例

相 同 点

都有两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。

不 同 点

商一定

y/x= k(一定)

积一定

x×y=k(一定)

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